Matematik
Elektriske kredsløb med modstande, kondensatorer og spoler under vekselspænding kan beskrives særlig effektivt ved brug af komplekse tal.
Kredsløb, der indeholder modstande (R), kondensatorer (C) og spoler (L) kaldes RCL-kredse. Kredsløb af denne art vil have resonansfrekvenser og strømstyrken og spændingsfaldet er beskrevet ved differentialligninger. Ved at indføre begrebet impedans for kredsen kan differentialligningerne simplificeres en del, mod at man i stedet må benytte komplekse tal til at beskrive kredsløbets opførsel.
Med komplekse tal udvides tallinjen for de reelle tal med en ekstra dimension. Typisk visualiseres de komplekse tal som en ekstra akse til tallinjen. Med de komplekse tal giver det pludselig mening at snakke om kvadratroden af de negative tal.
Stikord: elektronik, komplekse tal, impedans, RCL-kredse, vekselspænding
Forslag til kilder for informationssøgning:
Diverse gamle lærebøger fra fysikdepotet
En Segway kan beskrives som et pendul, der vender på hovedet. Da denne position er ustabil må bunden konstant accelereres frem eller tilbage. Hvor meget og hvordan kan bestemmes i en såkaldt feedbackproces.
Det omvendte pendul er en klassisk fysikopgave, der er blevet beskrevet i mange situationer. En af de klassiske beskrivelser er at balancere et kosteskaft i lodret position i håndfladen. For at gøre dette må man hele tiden bevæge hånden frem og tilbage og fra side til side i modsat retning af hvad vej kosteskaftet vælter.
Til at løse denne type opgaver benyttes differentialligninger og inertimomenter/bevægelsesmængdemomenter. Ligningerne kan simplificeres en del, hvis de betragtes gennem Lagrange-mekanikken. Hertil benyttes partiel differentiation.
Stikord: Feedback-processer, Lagrange-mekanik, partiel differentiation, differentialligninger, rotationsmekanik
Forslag til kilder for informationssøgning:
Classical Mechanics af Goldstein
Feedback Systems af Åström og Murray
Et faldende blad følger en kaotisk rute. Dele af denne rute kan dog beskrives ved hjælp af komplekse tal. Ved at placere bladet i det komplekse plan kan et komplekst tal angive positionen og vi kan udnytte de specielle regneregler, der gælder for komplekse tal set i forhold til (x,y)-koordinater til at opstille en differentialligning, der beskriver bladets rute. Beskrivelsen kan forklare de opadgående og roterende bevægelser blade af og til observeres til at tage.
Med komplekse tal udvides tallinjen for de reelle tal med en ekstra dimension. Typisk visualiseres de komplekse tal som en ekstra akse til tallinjen. Med de komplekse tal giver det pludselig mening at snakke om kvadratroden af de negative tal.
Stikord: komplekse tal, differentialligninger, cykloider
Forslag til kilder for informationssøgning:
Planar motion, complex numbers, and falling leaves: an intriguing minilab af Etkina, Holton og Horton
Hvad sker der egentlig, når man bungee jumper? Efter et fald bliver elastikken spændt ud, hvorefter man trækkes op igen, men hvorfor stopper man med tiden med at bevæge sig? Vindmodstanden har naturligvis en effekt, men mindst lige så vigtigt er det, at der er tale om en dæmpet svingning.
Fysikken i bungee jumping er af uransaglige årsager et både teoretisk og eksperimentelt forsøg, som ofte er blevet behandlet af førsteårsstuderende på universiteter overalt i verden. I sin simpleste form er der tale om en Hookesk fjeder, men hertil kommer mange andre komplikationer, der hurtigt efterlader en med en 2. ordensdifferentialligning med flere led, eller en potentiel simulering.
En eksperimentel tilgang kan her vælges, hvor forsøget udføres i en skaleret version.
Stikord: differentialligninger, simulering, bungee jumping, klassisk mekanik
Forslag til kilder for informationssøgning:
Modelling a bungee jump using differential equations
Hvis du kaster din telefon op i luften, kan du få den til at rotere om tre forskellige akser. Den ene af akserne vil den dog kun rotere kortvarigt omkring, da det er en ustabil tilstand. Denne effekt er på engelsk kendt som intermediate axis teoremet, tennis racket teoremet eller Dschanibekow-teoremet. Det sidste navn har den fået på baggrund af den sovjetiske kosmonaut ved navn Dschanibekow, som observerede effekten i rummet.
For at beskrive ting, der roterer i tre dimensioner, må man fra fysikkens side benytte begrebet bevægelsesmængdemoment/inertimoment og fra matematikkens side rumgeometrien. Derudover hjælper det ofte også at skifte fra retvinklede koordinater til såkaldte sfæriske koordinater, hvor positioner angives ud fra to vinkler og en afstand. Disse begreber benyttes til at beskrive alle roterende stive legemer (dvs. ting der ikke bliver bøjet under rotation).
Stikord: rumgeometri, sfæriske koordinater, klassisk mekanik, inertimomenter, intermediate axis theorem
Forslag til kilder for informationssøgning:
Wikipedia: Tennis Racket Theorem
Diskussionstråd fra Mathoverflow om emnet
Andre lignende opgaver fra Harvard
Optik er studiet af hvordan lys bevæger og opfører sig, når det bl.a. passerer gennem forskellige objekter.
Lys er elektromagnetiske bølger, der udbreder sig som transversalbølger gennem rummet. Siden de første kikkerter, brilleglas og forstørrelsesglas har vi udnyttet, hvordan lysets bane kan påvirkes ved at lade det passere gennem andre materialer end luften.
En af det 20. og 21. århundredes mest markante anvendelser af lys er laseren. Med en laser forstærkes en bestemt bølgelængde af lys gennem en proces kaldet stimuleret emission. Lyset fra laseren bevæger sig i samme fase og har derfor en lang række interessante egenskaber.
For at beskrive laserens virkemåde fuldstændigt må man benytte matematiske begreber som uendelige rækker, rumgeometri og fourier-rækker.
Stikord: rumgeometri, uendelige rækker, fourier-rækker, kvantemekanik, laserfysik, elektromagnetisme, optik, faststoffysik
Forslag til kilder for informationssøgning:
Laseren - den moderne lyskilde, Fysik i det 21. århundrede
Optics af Eugene Hecht
Einsteins relativitetsteori bryder med en lang række af vores hverdagsopfattelser, om hvordan verden hænger sammen. En af de mest bizarre måder den bryder med vores normale opfattelse af verden er, at den gør rummet krumt. Det vil sige, at den korteste afstand mellem to punkter ikke længere bliver en ret linje og at der kan være flere korteste veje. Uanset, hvor underligt det lyder, så er netop denne del blevet eftervist utallige gange. Således kan vi på billeder af tunge galakser, se hvordan lyset fra bagvedliggende galakser er blevet bøjet omkring den foranliggende galakse, så vi ser et billede af den bagvedliggende galakse på alle sider af den forreste. Dette fænomen kaldes gravitationslinseeffekten.
En anden effekt af relativitetsteorien er gravitationsbølger, som er bølger i den såkaldte rumtid. Disse er inden for de seneste år blevet målt ved LIGO og VIRGO observatorierne på trods af de kun giver anledning til en effekt på størrelse med 1/10000 af bredden af en proton.
For at beskrive relativitetsteorien må man benytte et særligt matematisk værktøj kaldet ikke-euklidisk geometri.
Stikord: almen relativitetsteori, ikke-euklidisk geometri, LIGO, gravitational lensing
Forslag til kilder for informationssøgning:
Wikipedia: Gravitational lensing
Hvordan laver man det perfekte papirfly? Hvordan kaster man det, så det flyver længst muligt?
Der er utallige måder at folde et papirfly og mange overvejelser man kan gøre sig i forhold til hvordan man skal kaste det. Med dette projekt er det op til dig at opstille kriterierne for det perfekte papirfly og efterfølgende udføre en række tests, simuleringer, beregninger eller andre typer undersøgelser for at finde frem til det perfekte design. Herefter kan du afprøve små variationer, for at vise at du har fundet et maksimum. Du kan evt. også prøve at skalere din løsning op og ned for at se om det har en effekt.
For at beskrive fysikken i et papirfly har man højst sandsynlig brug for at se på emner som luftmodstand, aerodynamik, rumgeometri og materialestyrke.
Stikord: differentialligninger, simulering, luftmodstand, aerodynamik, rumgeometri, materialestyrke
Forslag til kilder for informationssøgning:
Indiana media: Paper airplane physics
Scientific American om papirfly
Et pendul er en relativt simpel ting. Et tungt objekt, der hænger for enden af en snor, svinger fra side til side. For at beskrive pendulets bevægelser kan det være en fordel at anvende såkaldte polære koordinater, hvor man i stedet for at se på placeringen som x- og y-koordinater angiver en vinkel og en afstand fra et udgangspunkt (typisk omdrejningspunktet for pendulet).
Herfra kan problemet hurtigt gøres væsentligt mere vanskeligt. Hvad sker der f.eks., hvis snoren har en masse? Eller hvad med hvis man hængte et nyt pendul for enden af det første (og skiftede snorene ud med stænger)?
For at beskrive den slags fysiske situationer kan man med fordel anvende den såkaldte Lagrange-mekanik, hvortil man skal benytte partiel differentiation og differentialligninger. Man kunne også blot beslutte sig for at simulere det hele. Dobbeltpendulet opfører sig nemlig kaotisk og vil derfor hurtigt vise sig at være ekstremt følsom overfor startbetingelserne.
Således kan et simpelt problem lige pludselig gribe om sig.
Stikord: differentialligninger, simulering, kaos, klassisk mekanik, Lagrange-mekanik, penduler, fysisk pendul, dobbeltpenduler
Forslag til kilder for informationssøgning:
Scientific American: pendulforsøg
Gennemgang af dobbeltpendulet med Lagrange-mekanik
Classical mechanics af Goldstein
Nonlinear Dynamics and Chaos af Strogatz
Smeltepunkter og kogepunkter er almindeligt kendte eksempler på faseovergange, men der findes også mange andre typer af faseovergange. Et eksempel er når et stykke jern bliver magnetisk eller når mælk koagulerer.
Fysikken i faseovergange foregår ofte på molekylærskala og kan kræve en del matematisk indsigt. Et eksempel på en model er Ising-modellen, der bl.a. kan benyttes til at beskrive hvordan de enkelte atomer i en jernkrystal organiserer sig i forhold til de øvrige atomers spin ved forskellige temperaturer. Ved for høje temperaturer har atomerne for meget energi og skifter derfor hele tiden orientering, ved for lave energier er de for fastlåste. For at skabe en magnetisk jernkrystal på makroskopisk niveau er man derfor nødt til at have en temperatur i et bestemt interval og et eksternt magnetisk felt.
Stikord: Faseovergange, statistisk fysik, Ising-model, simuleringer, matrixregning, termodynamik, statistik
Forslag til kilder for informationssøgning:
Statistical mechanics of phase transitions af Yeomans